If you have ever read advanced textbooks or papers about electronics, you may have been amazed to see the use of complex numbers used in the analysis of AC circuits. A complex number has two parts: a real part and an imaginary part. I’ve often thought that a lot of books and classes just kind of gloss over what this really means. What part of electrical power is imaginary? Why do we do this?
The short answer is phase angle: the time delay between a voltage and a current in a circuit. how can an angle be a time? That’s part of what I’ll need to explain.
First, consider a resistor. If you apply a voltage to it, a certain current will flow that you can identify by Ohm’s law. If you know the immediate voltage across the resistor, you can derive the current and you can find the power–how much work that electrical power will do. That’s fine for DC current through resistors. but components like capacitors and inductors with an AC current don’t obey Ohm’s law. Take a capacitor. current only flows when the capacitor is charging or discharging, so the current through it relates to the rate of change of the voltage, not the immediate voltage level.
That implies that if you plot the sine wave voltage against the current, the top of the voltage will be where the current is minimal, and the top current will be where the voltage is at zero. You can see that in this image, where the yellow wave is voltage (V) and the green wave is current (I). See how the green top is where the yellow curve crosses zero? and the yellow top is where the green curve crosses zero?
These linked sine and cosine waves might remind you of something — the X and Y coordinates of a point being swept around a circle at a constant rate, and that’s our connection to complex numbers. By the end of the post, you’ll see it isn’t all that complicated and the “imaginary” quantity isn’t imaginary at all.
Simplifying Assumptions
Start with an audio signal of someone speaking and feed that into your circuit. It is awash with different frequencies that change constantly. If you had a circuit with only resistors in it, you could pick a point in time, find all the frequency components present or the immediate amplitude, derive the immediate currents, and you could use conventional techniques on it. You’d just have to do it over and over and over again. If the circuit involves inductors or capacitors, whose behavior depends on much more than just the voltage across them, this becomes very challenging very quickly.
Instead, it is simpler to start with a sine wave at a single frequency and assume that a complex signal of numerous different frequencies is just the sum of numerous single sines. One way to think of a capacitor is to consider it a resistor that has higher resistance at lower frequencies. An inductor acts like a resistor that gets larger at higher frequencies. because we are only considering a single frequency, we can convert any capacitance and inductance values to an impedance: a resistance that is only good at the frequency of interest. What’s much more is that we can represent impedance as a complex number so that we can track the phase angle of the circuit, which directly relates to a particular time delay between voltage and current.
For a true resistor, the imaginary part is 0. That makes sense because the voltage and current are in phase and for that reason there is no time delay at all. For a pure capacitor or inductor, the real part is zero. real circuits will have combinations and thus will have a combination of real and imaginary parts. Numbers like that are complex numbers and you can write them in several different ways.
Complex Review
The first thing to remember is that the word imaginary is just an arbitrary term. maybe it is better to forget the normal implying of the word imaginary. These imaginary quantities are not some kind of magic electricity or resistance. We use imaginary numbers to represent time delays in circuits. To je všetko.
There is a long story about what imaginary numbers imply in pure math and why they are called imaginary. You can look that up if you are a math-head, but you ought to know that math books use the symbol i for the imaginary part of a complex number. However, because electrical engineers use i for current, we use j instead. You just have to remember when reading math books, you’ll see i and it isn’t a current, and it is the same as j in electrical books.
There are several ways to represent a complex number. The simplest way is to write the real part and the imaginary part as being added together along with j. So consider this:
5 + 3j
We say the real part is 5 and the imaginary part is 3. Numbers written in this form are in rectangular format. You can plot it on the number lines like this:
That leads to the second way to write a complex number: polar notation. If the point on the graph is 5 + 3j, you can note that a vector can represent the saME bod. Bude mať dĺžku alebo veľkosť a uhol (uhol, ktorý robí s osou x grafu). V tomto prípade je veľkosť 5,83 (asi) a uhol je len o niečo menej ako 31 stupňov.
To je zaujímavé, pretože je to vektor a existuje veľa dobrých matematických nástrojov na manipuláciu s vektormi. Bude to naozaj nevyhnutné za minútu, pretože uhol môže zodpovedať fázovému uhlu v okruhu a veľkosť má priamy fyzický vzťah.
Fázový uhol
Pamätajte, že som povedal, že robíme AC analýzu na jednej frekvencii? Ak si vykresľujete striedavé napätie a prúd prechádza odporom na určitej frekvencii, dve sínusové vlny budú radiť presne. To je preto, že odpor nie je čas oneskoriť nič. Povedali by sme, že fázový uhol cez odpor je nulový titul.
Avšak, pre kondenzátor sa zdalo, že prúd zvýši pred napätím nejakým časom. To dáva zmysel, ak si myslíte o vašej intuícii o kondenzátoroch na DC. Keď je kondenzátor vypustený, nemá žiadne napätie, ale to bude konzumovať veľa prúdu – dočasne vyzerá ako skrat. Keďže poplatok stavia, napätie stúpa, ale aktuálne kvapky, až kým sa kondenzátor úplne nenabije. V tomto bode je napätie maximálne, ale prúd je nula, alebo takmer tak.
Induktory majú opačnú usporiadanie: napätie vedie prúd, takže krivky by vyzerali rovnako, ale krivka V je teraz I a The I Curve je teraz V. Môžete si spomenúť, že s ľahkým mnemonickou Eli The Ice Man, kde E je napätie rovnako ako v zákone Ohm. Keď hovoríte o fázovom posunom v okruhu, naozaj znamenajú, koľko vedie prúd alebo zaostáva napätie pri danej frekvencii. To je základná myšlienka: fázový posun alebo uhol je časom aktuálneho vodičov alebo zaostáva napätie. Môžete tiež merať fázu medzi inými vecami, ako sú dva rôzne zdroje napätia, ale typicky, keď poviete “Tento obvod má fázový posun 22 stupňov” znamená napätie vs aktuálne časové oneskorenie.
Majte na pamäti sínusovú vlnu je ako kruh ohnutý, aby sa zmestil čiaru. Takže ak je začiatok sínusovej vlny je o 0 stupňov, horná časť kladného vrcholu je 90 stupňov. Druhý prechod 0 je 180 stupňov a negatívny vrch je 270 stupňov – rovnako ako body na kruhu. Pretože sínusová vlna je v pevnej frekvencii, uvedenie do určitej miery je rovnaké ako vyjadrenie času.
V prípade odporov je posun 0 stupňov. Takže v komplexnom notácii je 100 ohm rezistor 100 + 0J. Môže byť tiež 100 hviezd. Pre kondenzátor, prúd stúpa pred napätím o 90 stupňov, takže kondenzátor má fázový posun -90. Ale čo je to veľkosť?
Pravdepodobne ste sa dozvedeli, že kapacitná reaktancia sa rovná 1 / (2πFC), kde F je frekvencia v Hz. To je veľkosť polárnej formy. Samozrejme, pretože -90 stupňov je rovno dole číslo čiary, je tiež imaginárnou časťou obdĺžnikovej formy (a skutočná časť je nulová). Ak je kapacitná reaktancia (XC) rovná 50, napríklad, potom by ste mohli písať 0-50J alebo 50∠-90. Induktory pracujú rovnaké, ale reaktancia (XL) je 2πFL a fázový uhol je 90 stupňov. Takže induktor s rovnakou reakciou by bol 0 + 50J alebo 50∠90.
Nájdenie moci
Pozrime sa na rýchly príklad toho, čo sú tieto fázové uhly dobré pre: výpočet výkonu. Viete, že moc je časový prúd napätia. Takže ak má kondenzátor 1 V cez ňu (vrchol) a kreslí 1 a cez to (vrchol), je výkon 1 watt? Nie, pretože nekreslí 1 V na 1 a zároveň.
Zvážte túto simuláciu (pozri obrázok vpravo). Môžete vidieť stopy vľavo Zobraziť 90 stupňový fázový posun veľmi jasne (zelená stopa je napätie a žltá je prúd). Najvyššie napätie je 1,85 V a prúdové píky na približne 4,65 mA. Produkt času napätia prúd je 8,6 MW. Ale to nie je najlepšia odpoveď. Napájanie je vlastne 4,29 MW (pozri graf vpravo). V ideálnom kondenzátore sa energia nespotrebuje. Je uložený a prepustený, čo je dôvod, prečo je moc negatívna. real capacitors, of course, exhibit some loss.
Note that the power supply doesn’t offer 4.29 mW, but much less. That’s because the resistor is the only thing consuming power. The voltage and current are in phase for it and some of the power it dissipates is coming from the capacitor’s stored charge.
Circuits
The magnitude of the vector is usable in Ohm’s law. For example, at 40 Hz, the Xc of the example circuit is just under 400 ohms. So the total complex impedance for the RC circuit is 1000 – 400j.
If you are adept with vectors you could do polar by writing 1000∠0 + 400∠-90. However, it is typically simpler to write the rectangular version and convert to polar (Wolfram Alpha is good at that; just remember to use i instead of j). The magnitude is just the Pythagorean theorem and the angle is easy trig. I am not going to go into it, but here’s the formula where R and J are the real and imaginary parts, respectively.
mag=SQRT(R^ 2 + j ^ 2)
fáza = arctán (j / r)
Náš príklad, potom je 1077∠-21,8.
Čo je teda napájanie z zdroja napätia? Napájanie je e ^ 2 / r (alebo vlastne, e ^ 2 / z v tomto prípade). SO 25/1077 = 23 MW Peak. Simulácia ukazuje 22.29 a pretože som zaokrúhlila niekoľko hodnôt, to je dosť blízko.
To je to?
To nie je to, samozrejme, ale je všetko, čo potrebujete vedieť na veľa účelov. Početné elektronické texty na úrovni hobby na detailoch a len pracovať s venmi. Pre jednoduché obvody to môže fungovať, ale pre niečo zložité (bez kontroly), to sa rýchlo chlpaté.
Mimochodom, tento príklad ukázal prvky v sérii. Avšak, môžete pridať reakcie paralelne, rovnako ako vy ste paralelne odporov.
Základné koncepty, ktoré potrebujete na pamäti, sú:
Analýza AC okruhu sa väčšinou vyskytuje pri jednej frekvencii so sídlom vlnovým vstupom.
Imaginárne čísla nie sú imaginárne.
Manželky komplexných čísel v polárnych formách sa môžu považovať za odpor.
Fázový uhol je časové oneskorenie medzi napätím a prúdovým tvarom.
Existuje veľa detailov, ktoré som oslovil. Pravdepodobne nemusíte vedieť, ako je naozaj druhá odmocnina negatívneho. Alebo ako do toho hrá číslo Euler a jednoduchosť integrácie a diferencovania sínusových vĺn napísaných s amplitúdou a fázovým uhlom. Ak máte záujem o históriu matematiky, imaginárne čísla majú za nimi pomerne príbeh. Ak chcete niečo oveľa praktickejšie, Khan Academy má nejaké užitočné videá. Avšak, čo sa tu vzťahuje, by malo byť všetko, čo potrebujete vedieť, že budete pracovať s AC obvodmi.
No Responses